2.5.6. Понятие о стоячих волнах
Выясним физический смысл собственных функций:
, cos sin sin .
k k k
k at k at k x
u x t a b
l l l




(2.49)
Из этой формулы видно, что в моменты времени
24
, ,...
ll
tt
aa

струна возвращается в первоначальное положение. Следовательно,
колебания являются незатухающими, периодическими с периодом
2l
T
a
.
Это происходит потому, что не учтены силы сопротивления. Если эти силы
учесть, колебания окажутся затухающими.
Преобразуем формулу (2.49), для чего введем обозначения
sin ,
k k k
aA
cos ,
k k k
bA
откуда
2 2 2
,
k k k
a b A
22
,
k k k
a b A
22
sin ,
k
k
kk
a
ab

Умножая и деля на
22
kk
ab
правую часть равенства (2.49), в силу
принятых обозначений получаем
, sin sin .
k k k
k at k x
u x t A
ll




(2.50)
Отсюда следует, что все точки струны совершают колебания с одной и
той же частотой
k
ka
l

и одной и той же начальной фазой
.
k
Амплитуда колебания зависит от точки
x
и равна
sin
k
kx
A
l
. Все точки
струны одновременно проходят через положение равновесия и
одновременно достигают максимального отклонения от него в ту или
другую сторону. Рассматриваемые колебания струны называются
стоячими волнами.
Рис. 2.4
На рис. 2.4 показаны различные формы струны в отдельные моменты
времени при
1.k
Отклонение на концах струны равно нулю, наибольшее
отклонение достигает точка с абсциссой
2
l
x
. При
2k
неподвижных
точек уже будет три, их абсциссы:
1
0,x
2
2
l
x
,
3
xl
(это корни
уравнения
2
sin 0
x
l
). Наибольшее отклонение достигают две точки
струны с абсциссами
4
l
x
,
3
4
l
x
(рис. 2.5).
Рис. 2.5
U
x
l
0
F
1
𝑙
2
U
x
l
0
𝑙
2
Стоячая волна (2.50) имеет
1k
неподвижных точек, т. е. столько,
сколько корней имеет уравнение
sin 0
kx
l
на отрезке
0; .l
Абсциссы этих точек являются корнями указанного уравнения:
1
0,x
2
,
l
x
k
3
2
,
l
x
k
…,
1
,
k
k
xl
k
1
.
k
xl
Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Точки, в
которых отклонения достигают максимума, называются пучностями.
Каждая струна может иметь собственные колебания только строго
определенных частот
k
ka
l

, которые называют собственными
частотами. Наименьшей собственной частотой струны является частота
1
aT
ll

,
где
T
– натяжение,
– линейная плотность.
6Б+С8 (Замечание). При колебаниях струна издает звук, высота
которого возрастает с частотой колебаний. Самый низкий тон будет при
частоте, равной
1
.
. Остальные тона, соответствующие частотам
,
k
называют обертонами, или гармониками. Первой гармоникой считается
основной тон, второй гармоникой – тон с частотой
21
2
и т. д.
Решение (2.45) складывается из отдельных гармоник, амплитуды их, а
поэтому и влияние их на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро
убывает при увеличении номера гармоники, и все их действие сводится к
созданию тембра звука, различного для разных музыкальных
инструментов и объясняемого именно наличием этих гармоник.
Существует очень мало колебательных систем с гармоническими
обертонами, но эти немногие системы являются основными для
построения почти всех музыкальных инструментов.
Если прижать колеблющую струну точно в середине, т. е. в пучности
ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но
и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. нечетных гармоник;
напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это
влиять не будет. Таким образом, остаются только четные гармоники, и
самой низкой частотой будет
2
2
,
T
l

и струна будет издавать не свой
основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое
большим.
При отыскании решений (2.49) не использовались начальные условия.
Очевидно, что при произвольных начальных условиях колебания струны
будут сложнее. Колебания, описываемые функциями
,,
k
u x t
будут иметь
место (в «чистом виде») только в случае, если в начальный момент
времени придать струне соответствующую форму, например форму одной
из сплошных линий, изображенных на рис. 2.4, 2.5.